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数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑩因数分解】

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因数分解

因数分解も公式が多い単元です。

 

念のため因数分解の公式を載せておきますね。

【因数分解の公式】

〈公式①〉

{ \displaystyle mx+my=m\left(x+y\right)}

〈公式②〉

{ \displaystyle a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2}

{ \displaystyle a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2}

〈公式③〉

{ \displaystyle a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}

〈公式④〉

{ \displaystyle x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)}

 

因数分解の解法パターンは上記の5個です。

 

この中でおそらく一番ややこしいのが公式④でしょう。

 

今回は、公式④のパターンをマスターしていきましょう。

 

この解法は誰でもすぐにできるようになります。

 

最初は難しいと感じるかもしれません。

 

でも”慣れ”で克服可能です。

 

僕が教えている生徒で、どんなに点数が悪い生徒でも100%スラスラできるようになっています。

 

生徒にやらせたことは、たった一つ。

「同じ問題を何十回と解く」

これだけです。

 

それではいきましょう！

例題

次の式を因数分解しなさい。

{ \displaystyle \left(1\right)x^2+2x-15}

{ \displaystyle \left(2\right)x^2+9x-22}

{ \displaystyle \left(3\right)x^2-2x-24}

シンプル要約

①掛け算の組合せ

②足し算の組合せ

公式④の公式が難しく感じる理由の一つは、他の公式のようにスパッと数字がでないからです。

 

この問題を見てください。

{ \displaystyle \large x^2-36}　を因数分解せよ。

これだとすぐに{ \displaystyle 36=6^2}だから、

{ \displaystyle x^2-36=\left(x+6\right)\left(x-6\right)}

と数字がすぐ浮かびますよね。

 

では例題の(1)を考えてみましょう。

{ \displaystyle \large x^2+2x-15}

公式④と見比べてみましょう。

〈公式④〉

{ \displaystyle x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)}

２つを並べるとこうです。

  • { \displaystyle x^2\color{red}{+2}x\color{red}{-15}}
  • { \displaystyle x^2+\left(\color{red}{a+b}\right)x+\color{red}{ab}}

上記の赤文字で連立方程式ができるのが分かりますか？

{ \displaystyle \begin{cases}ab=-15\\a+b=+2\end{cases}}

これを文章にすると「掛けて-15、足すと+2になる数字の組み合わせ」ということになりますよね。

 

掛けて-15になる数字の組み合わせから考えてみます。

  • ①+1と-15
  • ②-1と+15
  • ③+3と-5
  • ④-3と+5

あとは、この中から足して+2になる組み合わせを選ぶだけです。

 

見てみると、足して+2になるのは④-3と+5の組み合わせだというのが分かりますね。

 

したがって、因数分解の答えはこうなります。

{ \displaystyle x^2+2x-15}

{ \displaystyle =\left(x-3\right)\left(x+5\right)}

解答・解説

{ \displaystyle \left(1\right)x^2+2x-15}

{ \displaystyle =\left(x+5\right)\left(x-3\right)}

①掛けて{ \displaystyle -15}になる組合せ

  • { \displaystyle +1　-15}
  • { \displaystyle -1　+15}
  • { \displaystyle +3　-5}
  • { \displaystyle -3　+5}

②足して{ \displaystyle +2}になる組合せ

{ \displaystyle \left(-3\right)}と{ \displaystyle \left(+5\right)}

 

{ \displaystyle \left(2\right)x^2+9x-22}

{ \displaystyle =\left(x+11\right)\left(x-2\right)}

①掛けて{ \displaystyle -22}になる組合せ

  • { \displaystyle +1　-22}
  • { \displaystyle -1　+22}
  • { \displaystyle +2　-11}
  • { \displaystyle -2　+11}

②足して{ \displaystyle +9}になる組合せ

{ \displaystyle \left(-2\right)}と{ \displaystyle \left(+11\right)}

 

{ \displaystyle \left(3\right)x^2-2x-24}

{ \displaystyle =\left(x+4\right)\left(x-6\right)}

①掛けて{ \displaystyle -24}になる組合せ

  • { \displaystyle +1　-24}
  • { \displaystyle -1　+24}
  • { \displaystyle +2　-12}
  • { \displaystyle -2　+12}
  • { \displaystyle +3　-8}
  • { \displaystyle -3　+8}
  • { \displaystyle +4　-6}
  • { \displaystyle -4　+6}

②足して{ \displaystyle -2}になる組合せ

{ \displaystyle \left(-4\right)}と{ \displaystyle \left(+6\right)}

正直、最初からここまで丁寧にやる必要はありません。

 

ですが、スラスラと数字の組み合わせが出ないときや、素早く解いた結果、数字の組み合わせが間違っているときは一度このやり方を試してみてください。

 

慣れてくれば、このような組み合わせの書き出しは必要なくなります。

なぜ大事なのか

因数分解は、高校入試で必ず出題されます。

 

どんな形式で出題されるかというと次の通りです。

  • 計算問題
  • 短めの文章問題
  • 二次方程式の問題
  • グラフと図形の融合問題

数学の入試で最も幅広く出題される解法の一つです。

 

つまり、どこでどんな形式で出題されても対応できるようにしておかなければいけません。

 

今回は公式④だけやりましたが、冒頭でもお見せした他の公式についてもできるようになっておきましょう。

【因数分解の公式】

〈公式①〉

{ \displaystyle mx+my=m\left(x+y\right)}

〈公式②〉

{ \displaystyle a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2}

{ \displaystyle a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2}

〈公式③〉

{ \displaystyle a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}

〈公式④〉

{ \displaystyle x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)}