高校入試で頻出の数学の公式１０選！これだけは覚えておけ！

数式を黒板に書いている画像

ここでは高校入試で”必ず”と言っていいほど頻出の公式を10個紹介します。

この数学の公式は、どんな学力レベルの人であっても必ず覚えておくべきものばかりです。

もうすでに知ってる！という人は、この公式を使う応用問題にチャレンジしてみましょう。

では早速、見ていきましょう！

高校入試で頻出の公式10選！
参考書や問題集を使って演習を
まとめ

高校入試で頻出の公式10選！

今回の公式は、”なんでそうなるのか”という視点は省いています。

とりあえず暗記して、”問題を見た瞬間に公式が浮かんで使える”という状態を目指しましょう。

①おうぎ形の公式

おうぎ形の面積を求める公式

$S=\frac{1}{2}\ell r$

おうぎ形の公式

$S$ ：おうぎ形の面積

$\ell$ ：弧の長さ

$r$ ：半径

おうぎ形については、

①面積

②中心角

③弧の長さ

を必ずできるようにしておきましょう。

今回紹介した公式は、おうぎ形の中心角が分からなくても面積を求めることができる公式です。

②球の表面積・体積の公式

球の表面積・体積の公式

球の表面積S(半径：r)

$S=4\pi r^2$

球の体積V(半径：r)

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

球の表面積・体積は暗記必須の公式ですね。

覚えてないと答えられないですから…。

球の表面積の覚え方 — 出典：球の体積と表面積の公式と覚え方を一目でわかるように図を用いて解説します！練習問題付き

球の体積の覚え方 — 出典：球の体積と表面積の公式と覚え方を一目でわかるように図を用いて解説します！練習問題付き

ですが、覚えやすい語呂合わせがあるので、呪文のように何度も口に出して”目”と”手”と”耳”で覚えましょう。

③外角

三角形の外角

三角形の外角は、それと隣合わない2つの内角の和に等しい

$\angle ACD=\angle A+\angle B$

三角形の外角

外角は、高校入試で頻出なのに意外と知られていない数学公式ランキング第1位です。

図形の証明や角度を求める問題で、よく使われます。

見たら分かりますが、外角の公式自体は全然難しくありません。

難しいのは、外角の見つけ方です。

カメレオンのように図形に溶け込んでいるので、図形の問題に少しでも迷ったら、外角の公式を使えるところがないか探してみましょう。

④直角三角形の合同条件

直角三角形の合同条件

①斜辺と1つの鋭角が、それぞれ等しい

②斜辺と他の1辺が、それぞれ等しい

三角形の合同条件や相似条件は、当然覚えていますよね？

もう一つ、直角三角形の合同条件も覚えましょう。

「でも同じ合同証明なら普通の三角形の合同条件を使えばよくない？」と考えたあなた。

よくありません。

入試では、直角三角形の合同条件でしか合同証明ができない問題が出ます。

ですから直角三角形の合同条件も暗記対象です。

⑤因数分解の公式

因数分解の公式

パターン①

$a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2$

$a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2$

パターン②

$a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

パターン③

$x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)$

※スマホの方は横スクロールで全部見れます

因数分解の公式はいくつかありますが、全部覚えましょう。

勉強のコツとしては、全ての公式パターンがランダムで出題されるような問題を解きましょう。

どの公式パターンを使って解くのか分かっている状態で問題を解いても意味ないですからね！

⑥解の公式

2次方程式の解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は

$x＝\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

解の公式は、覚えているだけではいけません。

しっかりと間違えずに計算ができるようにしておきましょう。

僕の教えた生徒にも、解の公式は覚えているけど、公式に数字を当てはめるときや、解を求めるまでの計算でミスをする子が大量発生していました。

⑦線分の比と平行線

線分の比と平行線

$DE//BC$ ならば

$AD:DB=AE:EC$

線分の比と平行線①

$AD:AD=AC:AE=BC:DE$

線分の比と平行線②

高校入試で図形の問題を解き切ろうと思ったら、欠かすことのできない条件です。

「線分の比と平行線」の難しいところは、どことどこの線分の比が等しいのか分かりづらいところです。

改善方法は、図形の問題を解くときに、比例式が成り立つ箇所に色を付けて目で分かるようにすることです。

これを繰り返していけば、色を付けなくても、どことどこの線分の比が等しいか分かるようになりますよ。

⑧角の二等分線と辺の比

角の二等分線と辺の比

$\triangle ABC$ の $\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とすれば

$AB:AC=BD:DC$

角の二等分線と辺の比

この条件は、周りと差をつける問題として出題されることが多いですね。

「線分の比と平行線」が分かっていても、これを知らない生徒は意外と多いです。

角の二等分線が含まれる図形の問題に当たったら、この条件が使えないか一度考えてみてください。

⑨中点連結定理

中点連結定理

$AD=DB, AE=EC$ ならば

$DE//BC, DE=\frac{1}{2}BC$

中点連結定理

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、その半分に等しい

図形の問題でよく出題される定理です。

この中点連結定理が分かってなければ答えられない問題として出題されるので、分かっている人とそうでない人で大きく点が分かれる可能性があります。

頻出ながら、意外と盲点になりやすい公式なので、他の人と差をつけるために覚えておきましょう！

⑩三平方の定理

三平方の定理

斜辺c,その他の2辺a,bの直角三角形について

$a^2+b^2=c^2$

三平方の定理

3年生の最後の最後にやる公式ですね。

これも公式自体は簡単です。大事なのはこれをしっかり使いこなせるかどうかです。

入試のよくあるパターンとしては、

三平方の定理をつかった $x$ の二次方程式を作る
二次方程式の解を求めて値を出す

みたいな問題です。文章題でよく見かけます。

参考書や問題集を使って演習を

演習する画像

これまで高校入試対策で絶対必要な公式を紹介してきました。

これらは、ただ暗記するだけではダメです。

演習して公式を使いこなす練習をしましょう！

演習で使える参考書や問題集は市販のものでも大丈夫です。

math-gakusyu.hatenablog.com

自分に合った1冊を見つけてひたすら反復演習です。

1回解いただけでは、忘れてしまいますから期間をあけて何度も問題を解くようにしましょう。