中学数学ぐんぐんブログ

中学数学は必ず伸ばせる〈6ヶ月で50点上がる数学勉強〉

MENU

数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑥おうぎ形】

解法テクニック

アイキャッチ画像

おうぎ形

おうぎ形の問題で出題されるのは次の3パターンです。

  1. おうぎ形の中心角
  2. おうぎ形の面積
  3. 弧の長さ

例題をやって、この3パターンに対応できるようにしていきましょう。

例題

次の問いに答えなさい。

{ \displaystyle \left(1\right)}半径が{ \displaystyle 15cm}、弧の長さが{ \displaystyle 6\pi cm}のおうぎ形の中心角を求めなさい

 

{ \displaystyle \left(2\right)}半径{ \displaystyle 5cm}、中心角{ \displaystyle 72°}のおうぎ形の面積を求めなさい

 

{ \displaystyle \left(3\right)}半径{ \displaystyle 8cm}、中心角{ \displaystyle 135°}のおうぎ形の弧の長さを求めなさい

シンプル要約

おうぎ形のシンプル要約はコチラ⬇︎

おうぎ形は円の一部と考える

円：おうぎ形＝360°：中心角

おうぎ形というのは、ホールケーキをカットしたショートケーキのように、円の一部だと考えましょう。

ケーキの画像

 

おうぎ形を円の一部と考えることで、比の計算を応用することができます。

円：おうぎ形＝360°：中心角

おうぎ形を比の計算で表した画像

 

学校で習っているおうぎ形の計算は、こうですよね？

円周率：{ \displaystyle \pi}、半径：{ \displaystyle r}、中心角：{ \displaystyle a} とすると

おうぎ形の面積{ \displaystyle S}

{ \displaystyle S=\pi r^2\times\frac{a}{360}}

弧の長さ{ \displaystyle \ell}

{ \displaystyle \ell=2\pi r\times\frac{a}{360}}

 

実はこの公式も

円：おうぎ形＝360°：中心角

これを応用したに過ぎません。

 

暗記が苦手な人は、比で覚えましょう。

解答・解説

{ \displaystyle \left(1\right)}中心角{ \displaystyle 72°}

おうぎ形の中心角を{ \displaystyle a°}とする。

半径{ \displaystyle 15cm}ということは

円周は{ \displaystyle 15cm\times2\times\pi =30\pi cm}

よって円とおうぎ形の比を考えると


{ \displaystyle 30\pi :6\pi =360:a}

{ \displaystyle 30\pi a=2160\pi}

{ \displaystyle a=\frac{2160\pi}{30\pi}}

{ \displaystyle a=72}

中心角{ \displaystyle 72°}

 

{ \displaystyle \left(2\right)}おうぎ形の面積{ \displaystyle 5\pi cm^2}

おうぎ形の面積を{ \displaystyle Scm^2}とする。

半径{ \displaystyle 5cm}ということは

円の面積は{ \displaystyle 5cm\times5cm\times\pi =25\pi cm^2}


よって円とおうぎ形の比を考えると


{ \displaystyle 25\pi :S=360:72}

{ \displaystyle 360S=1800\pi}

{ \displaystyle S=5\pi}

おうぎ形の面積{ \displaystyle 5\pi cm^2}

 

{ \displaystyle \left(3\right)}弧の長さ{ \displaystyle 6\pi cm}

おうぎ形の弧の長さを{ \displaystyle \ell cm}とする

半径{ \displaystyle 8cm}ということは

円周は{ \displaystyle 8cm\times2\times\pi =16\pi cm}


よって円とおうぎ形の比を考えると


{ \displaystyle 16\pi :\ell =360:135}

{ \displaystyle 360\ell =2160\pi}

{ \displaystyle \ell =6\pi}

弧の長さ{ \displaystyle 6\pi cm}

なぜ大事なのか

おうぎ形の計算が大事な理由はこの2つです。

  • 入試で計算問題としても出題される
  • 空間図形の単元でも使う

入試では、例題のような問題が単問で出題されることがあります。

 

こういった単問は簡単にもかかわらず配点が高いです。

 

そこは確実に点を取っておきたいですよね。

 

空間図形でも、次のような問題としておうぎ形を使うことがあります。

出典：『中学 自由自在 数学: 基礎から難関校受験まで』

上の問題のように円錐の問題とセットで出題されることが多いですね。