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数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑨球の表面積・体積】

解法テクニック

アイキャッチ画像

球の表面積・体積の公式、覚えてますか？

 

【球の表面積】

{ \displaystyle \Large4\pi r^2}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^2\right)}

【球の体積】

{ \displaystyle \Large\frac{4}{3}\pi r^3}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^3\right)}

上記が公式ですね。

 

この公式ってややこしくて覚えにくいですよね。

 

ですが、安心してください。

"簡単に一発で"覚えられる方法があります。

 

実際に僕も指導しているときに、これから紹介する方法で公式を覚えてもらっています。

 

ほぼ百発百中で生徒も覚えてくれてます。

 

公式をしっかり覚えて、演習で使えるようにしていきましょう。

球の表面積・体積

では早速、球の表面積・体積の公式の便利な覚え方を紹介しますね。

 

それがコチラ⬇︎

【球の表面積】

「表面に心配あるある」

f:id:tyoki15:20200916143714p:plain

【球の体積】

「身の上に心配あるのさ」

f:id:tyoki15:20200916143731p:plain

いかがでしょうか？すごく覚えやすい語呂合わせじゃないですか？

 

ちなみにこの覚え方はこの記事から引用させていただいてます。

 

では語呂合わせで公式を覚えたところで、例題に行ってみましょう。

 

公式や計算テクニックは演習で使いこなすまでが肝ですよ。

例題

次の問いに答えなさい。

(1)半径{ \displaystyle 6cm}の球の表面積と体積を求めなさい。

(2)半径{ \displaystyle 6cm}の半球の表面積と体積を求めなさい。

f:id:tyoki15:20200915145539p:plain

(2)では球が半分に切断されて半球になっていますね。

シンプル要約

表面積の計算に注意

切断面を足し忘れないように

(1)は公式に当てはめるだけなので大丈夫でしょう。

【球の表面積】

{ \displaystyle \Large4\pi r^2}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^2\right)}

【球の体積】

{ \displaystyle \Large\frac{4}{3}\pi r^3}{ \displaystyle \scriptsize\left(cm^3\right)}

重要なのは(2)のような球を切断した図形の計算です。

 

(2)の表面積は、こういう計算で終わっていませんか？

(2)半径{ \displaystyle 6cm}の半球の表面積と体積を求めなさい。

{ \displaystyle r=6}より

{ \displaystyle 4\pi \times6^2}

{ \displaystyle =4\pi \times36}

{ \displaystyle =144\pi}…[球の表面積]

{ \displaystyle 144\pi \div2=72\pi}

{ \displaystyle 72\pi cm^2}…[半球の表面積]

先に言っておくと、この答えは間違いです。

 

答えが{ \displaystyle 72\pi cm^2}になってしまったなら、一つ大事なことを見落としています。

f:id:tyoki15:20200916173407p:plain

この画像の灰色部分は半球の底面です。

 

半球の表面積を求める時は、この底面積も足し合わせなければいけません。

【半球の表面積】

半球の表面積
＝半球の側面積＋半球の底面積

 

球の表面積を半分にしただけでは、半球の曲面部分（側面積）しか求められていないんです。

 

正しい答えは下の解答・解説を確認してください。

解答・解説

(1)半径{ \displaystyle 6cm}の球の表面積と体積を求めなさい。

{ \displaystyle r=6}より

{ \displaystyle 4\pi \times6^2}

{ \displaystyle =4\pi \times36}

{ \displaystyle =144\pi}

{ \displaystyle 144\pi cm^2}…[球の表面積]

 

{ \displaystyle \frac{4}{3}\pi\times6^3}

{ \displaystyle =\frac{4}{3}\pi\times216}

{ \displaystyle =\frac{4}{3}\times216\times\pi}

{ \displaystyle =288\pi}

{ \displaystyle 288\pi cm^3}…[球の体積]

 

(2)半径{ \displaystyle 6cm}の半球の表面積と体積を求めなさい。

f:id:tyoki15:20200915145539p:plain

{ \displaystyle r=6}より

{ \displaystyle 4\pi \times6^2}

{ \displaystyle =4\pi \times36}

{ \displaystyle =144\pi}…[球の表面積]

{ \displaystyle 144\pi \div2=72\pi}

{ \displaystyle 72\pi}…[半球の側面積]

半球の底面積は半径{ \displaystyle 6cm}の円より

{ \displaystyle 6\times6\times \pi}

{ \displaystyle =36\pi}

{ \displaystyle 36\pi cm^2}…[半球の底面積]

{ \displaystyle 72\pi+36\pi=108\pi}

{ \displaystyle 108\pi cm^2}…[半球の表面積]

 

(1)より半径{ \displaystyle 6cm}の球の体積は{ \displaystyle 288\pi cm^3}より

{ \displaystyle 288\pi\div2=144\pi}

{ \displaystyle 144\pi cm^3}…[半球の体積]

なぜ大事なのか

入試において、球の表面積・体積の問題は、計算の単体問題として出題されることがほとんどです。

 

加えて、球の表面積・体積は、公式を覚えていないと解けない問題です。

 

数学が50点以下の人が真っ先に対策すべきは、計算の単体問題ですので、公式を覚えるだけで、点を取れる問題は、ぜひ覚えてしまいたいところです。

 

これが、球の表面積・体積を重視する理由です。

 

同じ理由で、定規・コンパスを使った作図問題も本当はやるべきなのですが、出題パターンが多いので今回紹介している10個の解法には入れていません。


あともう少しで解法10個をクリアです！頑張ってください！