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数学50点以下の受験生がすぐに20点アップする10個の解法【⑦直線の式】

解法テクニック

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一次関数・直線の式

一次関数の中でも、直線の式の求め方に絞って解説をしていきます。

 

後ほど詳しく説明しますが、直線の式の求め方は、

 

入試や模試に直結する力を付けるための絶好の単元です。

 

この単元をマスターすることで、数学の解き方に新たな視点が身につくはずです。

例題

{ \displaystyle \left(1\right)}変化の割合が{ \displaystyle -4}で{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,6\right)}を通る直線の式を求めなさい。

{ \displaystyle \left(2\right)}グラフ{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x+5}と平行で、{ \displaystyle y}軸上の点{ \displaystyle \left(0,-1\right)}を通る一次関数のグラフを答えなさい。

{ \displaystyle \left(3\right)}{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,-1\right),}{ \displaystyle \left(2,11\right)}を通るとき、{ \displaystyle y}を{ \displaystyle x}の式で表しなさい。

どうでしょうか。

 

どれも見たことがあるパターンだと思います。

シンプル要約

一次関数・直線の式のシンプル要約はコチラ⬇︎

とりあえず

{ \displaystyle y=ax+b}

とおこう

 

直線の式を求める問題では、決まったフレーズが用いられます。

  • 直線の式
  • 一次関数のグラフ
  • { \displaystyle y}を{ \displaystyle x}の式で表す

このようなフレーズがあったときは、迷わず{ \displaystyle y=ax+b}と書きましょう。

 

そして{ \displaystyle a,b}の値を求める計算をすることで直線の式を求めましょう。

 

また、問題を解くときは下記を参考にしてみてください。

これは、問題文の日本語を数式や値に”翻訳”したものです。

＊傾きが{ \displaystyle -2}

→ { \displaystyle a=-2}

＊切片が{ \displaystyle -2}

→ { \displaystyle b=-2}

＊変化の割合が{ \displaystyle -2}

→ { \displaystyle a=-2}

＊{ \displaystyle y}軸上の点{ \displaystyle \left(0,-2\right)}を通り

→ { \displaystyle b=-2}

＊{ \displaystyle y=-2x+6}と平行

→ { \displaystyle a=-2}

(平行な直線は傾きが一緒)

＊グラフが点{ \displaystyle \left(2,-3\right)}を通り

→ { \displaystyle y=ax+b}に{ \displaystyle x=2,y=-3}を代入する

解答・解説

※スマホの方は横スクロールで全部見れます。

{ \displaystyle \left(1\right)}{ \displaystyle y=-4x+2}

「直線の式を求めなさい」 → { \displaystyle y=ax+b}とおく

「変化の割合が{ \displaystyle -4}で」 → { \displaystyle a=-4}

「{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,6\right)}を通る」 → { \displaystyle y=ax+b}に{ \displaystyle x=-1,y=6}を代入

上記の条件より

{ \displaystyle y=ax+b}は

{ \displaystyle 6=\left(-4\right)\times\left(-1\right)+b}になる。

これを計算して{ \displaystyle b=2}

したがって求める直線の式は

{ \displaystyle y=-4x+2}

 

{ \displaystyle \left(2\right)}{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x-1}

「一次関数のグラフを答えなさい」 → { \displaystyle y=ax+b}とおく

「グラフ{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x+5}と平行で」 → { \displaystyle a=-\frac{3}{2}}

「{ \displaystyle y}軸上の点{ \displaystyle \left(0,-1\right)}を通る」 → { \displaystyle b=-1}

上記の条件より

{ \displaystyle y=ax+b}は

{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x-1}

したがって求める直線の式は

{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x-1}

 

{ \displaystyle \left(3\right)}{ \displaystyle y=4x+3}

{ \displaystyle y}を{ \displaystyle x}の式で表しなさい → { \displaystyle y=ax+b}とおく

{ \displaystyle \left(x,y\right)=\left(-1,-1\right),}{ \displaystyle \left(2,11\right)}を通るとき

→ { \displaystyle y=ax+b}に{ \displaystyle x=-1,y=-1}および{ \displaystyle x=2,y=11}を代入

上記の条件より

{ \displaystyle y=ax+b}は

{ \displaystyle -1=-a+b}…①

{ \displaystyle 11=2a+b}…②

①と②を{ \displaystyle a}と{ \displaystyle b}の連立方程式で解いて

{ \displaystyle a=4,b=3}

したがって求める直線の式は

{ \displaystyle y=4x+3}

なぜ大事なのか

直線の式は、この10個の解放シリーズの中でも特に重要です。

 

なぜ重要なのか。

 

数学の翻訳力を使うから

 

これが理由です。

 

数学の翻訳力とは何かというと、

文章から数式や条件を引き出す力

です。

 

例えば、例題(2)の

グラフ{ \displaystyle y=-\frac{3}{2}x+5}と平行で

このフレーズを見て、

”平行”ということは傾きがグラフと一緒ということだから

 

直線の式の傾きは{ \displaystyle -\frac{3}{2}}

となれるかどうか、ということです。

 

入試や模試は、

  • 初見の問題
  • 応用が必要
  • 文章題が多い 

という特徴がありますよね。

 

数学の翻訳力があれば、これらを克服できます。

 

このように数学の翻訳力を育てることで、

 

入試や模試に強くなる

 

という恩恵があるわけですね。